O que é uma integral?

Em matem√°tica, falamos sobre dois tipos de integrais. Integrais definidas e integrais indefinidos.

Geralmente, uma integral atribui n√ļmeros a fun√ß√Ķes de maneira a descrever deslocamento, √°rea, volume e at√© probabilidade.

Integrais Definidos

Este tipo de integral est√° relacionado a valores num√©ricos. √Č usado em matem√°tica pura, matem√°tica aplicada, estat√≠stica, ci√™ncias e muito mais. No entanto, o conceito muito b√°sico de uma integral definida descreve √°reas.

A integral definida de uma função #f# durante um intervalo #[a,b]# representa a área definida pela função e o eixo x do ponto #a# apontar #b#, Como pode ser visto abaixo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration

O símbolo usado para representar esta área #S# e integral, respectivamente, é

#S=int_a^b f(x)"d"x#, Onde

#diamond f " is called the integrand"#
#diamond a and b " are the lower and upper bounds"#
#diamond x " is a dummy variable"#

Você pode estar se perguntando o que #"d"x# significa. Formalmente, isso não significa nada, mas indica a variável que você está diferenciando em relação ao nosso caso, ou a variável de integração.

Quando dizemos que a área definida pela função #f# com o eixo x, queremos dizer o área líquida. A área líquida não é igual à área absoluta.

Se o gráfico da função estiver acima do eixo x, é dito que a área líquida é positiva. Se estiver abaixo, a área líquida é negativa. Isso pode ser mais difícil de entender a princípio. Isso é visualizado abaixo:

https://en.wikipedia.org/wiki/Integral

Por exemplo, digamos que temos a tarefa de encontrar a área líquida abaixo da curva #f(x)=x^2# de #0# para #1#:

No nosso caso,

#S = int_0^1 x^2 "d"x#

Para não complicar esta resposta, aqui está um vídeo que a descreve com mais detalhes:

Como tal, ficou provado que #S=1/3#.

Podemos fazer um caso geral aqui; para cada #n!=-1#,

#int_0^tau x^n "d"x = tau^(n+1)/(n+1)#

Ao mesmo tempo, o v√≠deo descreve Somas de Riemann. Eles s√£o usados ‚Äč‚Äčpara calcular integrais. Geralmente, a soma de Riemann de uma fun√ß√£o #phi# is

#int_a^b phi(x)dx = lim_(n->oo) sum_(i=an)^(bn) phi(x_i)Deltax_i #

onde #Deltax_i = x_i-x_(i-1)# e #x_i#, como mencionado no vídeo acima, representa algumas "marcas" no eixo x. Uma solução possível é deixar #x_i=i"/"n#. em seguida #Deltax_i = 1"/"n#. Embora isso geralmente seja mais simples, pode não ser a maneira mais fácil ou rápida de calcular integrais.

Se lembrarmos do caso geral formado anteriormente, sobre a integral de #x^n# de #0# para #tau#; bem, isso é chamado de regra de poder. Existem muitas formas diferentes de fórmulas para integrais, que não abordarei nesta resposta. Esta é apenas uma ideia muito geral do que são integrais.

Integrais indefinidos

Eles são representados como integrais com limites. Deixei #I# ser a integral indefinida de uma função #f#.

#I=int f(x)"d"x#

Voc√™ pode pensar em integrais indefinidas como generaliza√ß√Ķes de definitivas.

Em vez de serem definidas por áreas, volumes ou outra coisa, integrais indefinidas se correlacionam com derivadas. A integral indefinida de uma função #f# também é chamado de antiderivativo e é frequentemente observado como #F(x)#.

O Teorema Fundamental do Cálculo preenche a lacuna entre uma função, sua derivada e sua integral indefinida. Basicamente, diz que #F# é definida como a função que, quando diferenciada, fornece #f#:

#F'(x) = f(x)#

Agora, digamos que queremos encontrar a antiderivada da função #f(x)=x^2#.

#F(x) = int f(x)"d"x=intx^2"d"x#

Usando nossa definição anterior, que função temos para diferenciar para obter #x^2#? A Regra de Potência para derivativos afirma que, se #f(x)=x^n#, Em seguida #f'(x) = nx^(n-1)#. Como tal, se assumirmos #F(x)# ser uma função algébrica do tipo

#F(x) = "constant"*x^"exponent"#, temos:

#F(x) = cx^k => F'(x) = ckx^(k-1)#

Exceto que isso não está completo. Lembre-se de que, ao diferenciar uma constante em relação a uma variável, ela praticamente desaparece, daí a verdadeira forma de #F(x)# is

#F(x) = "constant"_1*x^"exponent"+"constant"_2#

Deixei #alpha# e #C# sejam as duas constantes e #k# o expoente.

#F(x) = alphax^k + C => F'(x) = alphakx^(k-1)#

Desde #F'(x) = f(x)#, nos podemos concluir que

#alphakx^(k-1)=x^2=>{(k-1=2),(alphak=1) :}<=>{(k=3),(alpha=1/3) :}#

#:. int x^2"d"x = x^3/3+C#

Analogamente, se definirmos #f(x) = x^n# para #n!=-1#, Em seguida

#F(x) = int x^n "d"x = x^(n+1)/(n+1)+C#

#C# √© chamado a constante de integra√ß√Ķes e simplesmente √© uma constante aleat√≥ria. N√£o √© um valor particular. Est√° l√° apenas por uma quest√£o de corre√ß√£o.

Fazendo a ponte entre integrais definidas e indefinidas

Nossa antiderivada anterior de #x^n# assemelha-se a algo que obtivemos anteriormente ao falar sobre integrais definidas. Vemos que, se permitirmos #C# ser #0#, Em seguida

#F_((C=0))(tau) = tau^(n+1)/(n+1)#

Mas sabemos que isso também é igual a #int_0^tau x^n "d"x#:

#F_((C=0))(tau) = int_0^tau x^n "d"x#

√Č aqui que a conex√£o entre integrais definidas e integrais indefinidas √© vis√≠vel, declarada formalmente abaixo:

If #F(x)# é a antiderivada de uma função #f(x)# e deixamos #C=0#, Em seguida

#int_a^b f(x) "d"x = F(b)-F(a)#

Espero que essa resposta n√£o seja muito intimidadora.