O que é uma meia-vida de primeira ordem?

O semi-vida de uma reação química, independentemente de sua ordem, é simplesmente o tempo necessário para metade de uma concentração inicial de um reagente a ser consumido pela reação.

Agora, uma reação de primeira ordem é caracterizado pelo fato de que o taxa da reação depende linearmente da concentração de um reagente.

Para uma reação de primeira ordem

#"A " -> " products"#

o diferencial lei de taxa permite que você expresse a taxa da reação em termos da mudança na concentração do reagente (ou de um produto)

#"rate" = -(d["A"])/dt = k * ["A"]#

O lei tarifária integrada, que estabelece uma relação entre a mudança na concentração do reagente e tempo, pode ser obtido através da integração da lei da taxa diferencial.

A lei de taxas integrada para uma reação de primeira ordem se parece com isso - lembre-se, eu irei não faça a derivação aqui.

#color(blue)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(ln["A"] = ln["A"]_0 - k * t)color(white)(a/a)|)))#

Aqui

#["A"]# - the concentration of reactant #"A"# after a time #t#
#["A"]_0# - the initial concentration of the reactant #["A"]#
#k# - the rate constant of the reaction

Então, a meia-vida da reação, #t_"1/2"#, corresponde ao período de tempo em que a concentração do reagente passa de #["A"]_0# para #["A"] = ["A"]_0/2#.

Você pode assim dizer que

#ln(["A"]_0/2) = ln["A"]_0 - k * t_"1/2"#

Isso pode ser reorganizado para obter

#ln(["A"]_0/2) - ln["A"]_0 = - k * t_"1/2"#

#ln(color(red)(cancel(color(black)(["A"]_0)))/2 * 1/color(red)(cancel(color(black)(["A"]_0)))) = -k * t_"1/2"#

#ln(1/2) = - k * t_"1/2"#

Você pode reescrever isso como

#overbrace(ln(1))^(color(blue)(=0)) - ln(2) = - k * t_"1/2"#

#-ln(2) = -k * t_"1/2"#

O semi-vida reação de primeira ordem será igual a

#color(green)(|bar(ul(color(white)(a/a)color(black)(t_"1/2" = ln(2)/k)color(white)(a/a)|)))#

Uma coisa importante a notar aqui é que a meia-vida de uma reação de primeira ordem depende exclusivamente na taxa constante da reação.

Em outras palavras, a concentração inicial do reagente não tem influência na meia-vida da reação, ou seja, a meia-vida é constante independentemente da concentração do reagente.