O que é uma solução de equilíbrio para uma equação diferencial?

Suponho que você queira dizer a solução de estado estacionário para uma equação diferencial parcial. Por exemplo, considere o equação do calor para uma haste uniforme 1D de comprimento finito #L#:

#(delu)/(delt) = k(del^2u)/(delx^2)#

where #k# is a constant.

Para um problema de equilíbrio (térmico), suponha que a mudança de temperatura seja zero, ou seja, #(delu)/(delt) = 0#, para obter:

#0 = k(del^2u)/(delx^2) = (del^2u)/(delx^2)#

Assim, a mudança de temperatura na haste é linear, ou seja, você tem um gradiente linear de temperatura:

#int int ((del^2u)/(delx^2))dx^2#

#= (d^2)/(dx^2)int int udx^2#
(Leibniz's rule)

#= u = int c_1dx#

#= c_1x + c_2#

Por exemplo, digamos que você tenha as duas condições de contorno do Dirichlet:

#u(0,t) = 0#
#u(L,t) = T#

Então você teria da primeira condição de limite:

#c_1(0) + c_2 = 0#

#=> c_2 = 0#

Portanto:

#c_1L = T# from the second boundary condition, and:

#=> c_1 = T/L#

e teríamos:

#color(blue)(u(x) = (T/L)x)#