Para quais valores de r a função y = # e ^ (rx) # satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?

(b) Substituímos y por #ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)#. Primeiro, precisamos descobrir os valores para y 'e y' '.

y = #ae^(x/5) + be^(-3x)#
y '= #1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)#
y '' = #1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)#

Agora podemos inserir os valores em nossa equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0.

#5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 0#

#a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

#a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

#a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0#

a [0] + b [0] = 0

0 = 0

Como as soluções são 0, significa que todos os membros da família de funções em y = #ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)# é uma solução para 5y '' + 14y '- 3y = 0.