Qual é a probabilidade de acertar 4 perguntas num questionário com uma escolha múltipla de 4 respostas para 5 perguntas?

Para calcular uma probabilidade, precisamos decidir sobre um processo aleatório e um modelo para descrever esse processo. Sua pergunta não'não me diz nada sobre um processo aleatório, então você tem'não especificou o suficiente para realmente determinar qual modelo usar. I'farei minhas próprias suposições que eu espero concordar com o que você pretendia perguntar.

Primeiro, I'assumirei que cada uma das cinco perguntas tem quatro escolhas (chame-as de a, b, c, e d), e que exatamente uma dessas quatro está correta. Em seguida, I'assumirá que em cada pergunta, uma pessoa escolhe uma das quatro escolhas ao acaso de tal forma que:

• A cada uma das quatro escolhas é igualmente provável que seja escolhida em cada pergunta.
• As escolhas feitas em cada pergunta são independentes. (Isto significa que saber o que foi escolhido em algum grupo de questões não't impacta o que foi escolhido em algumas outras questões.)

A segunda hipótese permite-nos ignorar como o autor do questionário decidiu qual a letra a atribuir à resposta correcta. Todas elas poderiam apenas ser atribuídas a uma (por exemplo) e isso não teria impacto neste cálculo. Da mesma forma, poderíamos assumir que o autor escolheu a letra a ser atribuída à resposta correta independentemente em cada problema, com uma probabilidade igual para cada escolha. Esta suposição produziria a mesma resposta independentemente de como o aluno decidiu qual letra adivinhar.

Com estas suposições em mãos, acontece que este processo aleatório é uma Experiência Binomial. O número de respostas corretamente adivinhadas (chame-lhe [matemática]X[/math]) segue uma distribuição Binomial com parâmetros [matemática] n=5[/math] e [matemática]p=\frac 1 4[/math]. Para qualquer [matemática] k=k[/math] [0,1,2,3,4,5}[/math], a probabilidade de [matemática]X=k[/math] é dada por:
[matemática]|mathbb P(X=k)=\binom n k p^k(1-p)^{n-k}[/math]

Plugging in [matemática]k=4[/math] correctly guess answers, [matemática]n=5[/math] total questions, and [matemática]p=frac 1 4[/math] chance de adivinhar cada rendimento certo:
[matemática]{\i}mathbb P(X=4)=inom 5 4 4 {\i1}esquerda(Frac 1 4 {\i1}direita)^4 ^4 {\i1}esquerda(Frac 3 4 {\i}direita)^{5-4} = {\i1}frac{15}{1024}<1.5 [/math]%

>p>De notar que as suposições são realmente importantes. Na minha vida, I'já fiz muitos questionários como o que você descreve, e consegui 4 (ou mais) exatamente no MOST deles, então a probabilidade de 1,5% certamente é't "verdadeira" para a minha abordagem do teste.

Mas mesmo que você use uma estratégia de adivinhação aleatória e uma atribuição aleatória de letra para a resposta correta, a independência é essencial.

Por exemplo, o autor do questionário poderia escolher aleatoriamente com igual probabilidade qual letra atribuir para a resposta correta na primeira pergunta. Ela poderia então apenas seguir um padrão sequencial para o resto das respostas. (Por exemplo, se ela escolhesse aleatoriamente b para a questão 1, então escolheria c para a questão 2, d para a questão 3, a para a questão 4, e de volta para b para a questão 5). Acontece que com tal atribuição, em cada pergunta, há 1/4 de chance de cada letra ser a resposta correta; entretanto, as respostas não são independentes. Da mesma forma, o estudante poderia escolher aleatoriamente um palpite para a primeira questão (igualmente provável de escolher qualquer resposta) mas depois seguir um padrão sequencial para os palpites restantes (tal como o autor do questionário).

Neste cenário, ainda temos uma atribuição aleatória de respostas correctas com todas as escolhas igualmente prováveis, e ainda temos um palpite aleatório com todas as escolhas igualmente prováveis de ser adivinhadas. No entanto, existem agora apenas dois cenários possíveis. Ou o palpite e a resposta coincidem na primeira questão (e portanto em TODAS as questões subsequentes) ou não coincidem na primeira questão (e portanto não coincidem em TODAS as respostas subsequentes). Neste cenário, há 25% de chance do aluno adivinhar as 5 respostas certas e 75% de chance do aluno não adivinhar a resposta correta.

Como você pode ver, a suposição de independência faz uma grande diferença.