Se x²=y², então é necessariamente x=y?

[math] {}displaystyle f(x) = f(y) {} [/math]

[matematica] {does NÃO implicam} \Etiqueta*{} [/math]

[matemática] {}displaystyle x = y {}tag*{} f(x) [/math]

Na verdade, sempre que [matemática] f(x) [/math] é uma função par sobre os números reais, você verá que escolhendo [matemática] y = -x ≠ 0 [/math] produz a condição [matemática] f(y) = f(-x) = f(x) [/math] mas claramente [matemática] 0 ≠ -x ⇒︎ x ≠ -x [/math]

Este não é o único caso em que falha, na verdade a suposição de [matemática] f(x) = f(y) ⇒︎ x = y [/math] só funciona para funções injectivas, essa é a definição de ser injectivo, mas se você encontrar um único par de elementos no domínio que não são iguais, digamos [matemática] a ≠ b [/math] mas você tem [matemática] f(a) = f(b) [/math] então toda a suposição falha. É imediatamente óbvio para funções pares porque a menos que você tenha um domínio que nunca inclui [matemática] -x [/math] se inclui [matemática] x [/math] (além de [matemática] 0 [/math]) você falha, e [matemática] f(x) = x^2 [/math] é igual.

Assume [matemática] n [/math] é um número inteiro

[matemática] {sin}x = {sin}(x+2πn) {} [/math]

mas a menos que [matemática] n = 0 [/math]

[matemática] {}displaystyle x ≠ x+2πn {} [/math]

Unless [matemática] x > y ⇒︎ f(x) > f(y) [/math] ou [matemática] x > y ⇒︎ f(y) > f(x) [/math] a sua função não será uma função injectiva de um conjunto ordenado para um conjunto ordenado.