Você precisa de 300 páginas para provar que 1+1=2?

Talvez haja uma prova de 300 páginas, mas aqui está uma mais curta

A prova começa a partir dos Postulados Peano, que definem os
números naturais N. N é o menor conjunto que satisfaz esses postulados:

P1. 1 está em N.
P2. Se x está em N, então o seu "sucessor" x' está em N.
P3. Não há x tal que x' = 1.
P4. Se x está em x't 1, então há um y em N tal que y' = x.
P5. Se S é um subconjunto de N, 1 está em S, e a implicação
(x em S => x' em S) se mantém, então S = N.

Então você tem que definir a adição recursivamente:
Def: Deixe a e b estar em N. Se b = 1, então defina a + b = a'
(usando P1 e P2). Se b is't 1, então deixe c' = b, com c em N
(usando P4), e defina a + b = (a + c)'.

Então você tem que definir 2:
Def: 2 = 1'

2 está em N por P1, P2, e a definição de 2.

Teorema: 1 + 1 = 2

Prova: Use a primeira parte da definição de + com a = b = 1.
Depois 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Nota: Há uma formulação alternativa dos Postulados Peano que
substitui 1 por 0 em P1, P3, P4, e P5. Então você tem que mudar a
definição de adição a isto:
Def: Deixe a e b estar em N. Se b = 0, então defina a + b = a.
Se b é't 0, então deixe c' = b, com c em N, e defina
a + b = (a + c)'.

Você também tem que definir 1 = 0', e 2 = 1'. Então a prova do teorema
acima é um pouco diferente:

Prova: Use a segunda parte da definição de + primeiro:
1 + 1 = (1 + 0)'
Agora use a primeira parte da definição de + sobre a soma em
parênteses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.