Como é que a Play Store instala aplicações em dispositivos Android?

Existem três lados na sua pergunta.

Primeiro, Play Store não utiliza o aplicativo Package Installer (o que abre arquivos APK) - mas sob o capô, tanto Play Store quanto Package Installer utilizam o PackageManagerService do Android, que fornece API para aplicativos de sistema confiáveis (como esses dois) para instalar outros aplicativos. Por sua vez, o PackageManagerService se conecta ao daemon instalado (através do socket de domínio Unix /dev/socket/installd), e o daemon, que roda com permissões de root, é responsável por copiar os arquivos do aplicativo para seu lugar.

Second, sobre permissões. Tecnicamente, aplicativos de sistema confiáveis (como, novamente, Play Store e Package Installer) têm permissão para instalar outros aplicativos, e é sua preocupação garantir que o usuário concorde em conceder ao aplicativo as permissões que ele solicita. O PackageManagerService não se importa em verificar ele mesmo (e ele não tem interface gráfica de qualquer forma) - ele apenas instalará o aplicativo e concederá ao aplicativo todas as permissões que desejar - novamente, presume-se que o aplicativo de sistema que emitiu a solicitação de instalação já tenha feito com que o usuário concorde.

Terceiro, começando com o Android 6 Marshmallow, aplicativos podem (e devem) solicitar as permissões necessárias em tempo de execução (e apenas aplicativos antigos que não foram atualizados ainda o solicitam no momento da instalação) - provavelmente é por isso que você não está vendo o pedido de permissões ao instalar o aplicativo, mas tanto a Play Store quanto o Package Installer devem se comportar da mesma forma aqui.