Como calcular 9+2×99+3×999+4×999999+5×9999999+6×99999999+7×999999999+8×99999999+9×99999999999 sem calculadora

Fifty years atrás, as pessoas avaliariam logaritmos, funções trigonométricas, raízes quadradas e expressões aritméticas convolutas como a que é pedida aqui sem calculadora. Estas perguntas me entristecem por causa disso.

Para alegrar meu espírito novamente, deixe-me resolver isto sem uma calculadora, como solicitado. Na verdade, eu vou resolver isso em geral. Ao invés de parar em [matemática] 9 vezes 999999999[/math], eu vou trabalhar a soma se você parar em [matemática]n^ n^ vezes (n \textrm{ nines})[/math], em termos de [matemática]n[/math].

P>Primeiro, note que uma seqüência de [matemática]n[/math] nines é [matemática]10^n-1[/math]. Portanto, estamos avaliando

[matemática]{r=1}^n r(10^r-1)[/math]

[matemática]=\i>displaystyle\sum_{r=1}^n r(10^r) - ^n r(10^r=1}^n r.A segunda soma é bem conhecida por ser igual a [matemática]{n(n+1)}{2}[/math], pois é uma simples série aritmética. Nós agora focamos em [matemática]{r=1}^n r(10^r)[/math]. Vamos chamar a esta soma [matemática]S_n[/math]. Assim

[matemática]S_n = \i1^n r(10^r)[/math]

[matemática]10S_n = \i1^n r(10^r+1})[/math]

[matemática]10S_n + {r=1}^n 10^{r+1} = \sum_{r=1}^n r(10^{r+1}) + \sum_{r=1}^n 10^{r+1} = \sum_{r=1}^n (r+1)(10^{r+1}) = \sum_{r=2}^{n+1} r(10^r).[/math]

Hence

[math]10S_n + \displaystyle\sum_{r=1}^n 10^{r+1} = S_n + (n+1)10^{n+1} - 1(10)[/math]

[math]9S_n = (n+1)10^{n+1} - 10 - {r=1}^n 10^{r+1}^n 10^{r+1}.[/math]

p>p> A soma [matemática]{r=1}^n 10^{r+1}[/math], sendo uma série geométrica, é bem conhecida por ser igual a [matemática]^dfrac{10^2(10^n-1)}{10-1} = ^dfrac{100}{9}(10^n-1)[/math]. Assim

[matemática]9S_n = (n+1)10^{n+1}{n+1} - 10 - \frac{100}{9}(10^n-1)[/math]

[math]= (n+1)(10^{n+1}) - 10 - \frac{10}{9}10^{n+1} + \frac{100}{9}[/math]

[math]= 10^{n+1}(n+1-\frac{10}{9}) + \frac{10}{9}[/math]

[math]= 10^{n+1}(n-\frac{1}{9}) + \frac{10}{9}[/math]

[math]S_n = \dfrac{10^{n+1}}{9}{9}{esquerda(n-\Frac{1}{9}{9 direita} + Frac{10}{81}[/math]

[math]= {10^{n+1}{9}{9 esquerda(9n-1}{9 direita) + Frac{10}{81}[/math]

[math]S_n = {10}{81}(1 + 10^n(9n-1)).[/math]

Assim nossa soma avalia para [matemática]S_n - \dfrac{n(n+1)}{2}[/math], ou para

[matemática]\mathbf{\dfrac{10}{81}(1 + 10^n(9n-1)) - \dfrac{n(n+1)}{2}.}[/math]

No nosso caso, [matemática]n=9[/math], por isso avaliamos

[matemática]|dfrac{10}{81}(1 + 10^9(9\ vezes 9-1)) - \dfrac{9\ vezes 10}{2}[/math]

[matemática]= \dfrac{10}{81}(1 + 10^9\ vezes 80) - \dfrac{90}{2}[/math]

[math]= \dfrac{10}{81}(1 + 8\ vezes 10^{10}) - 45[/math]

[math]= 10\times\dfrac{80000000001}{81} - 45.[/math]

Então como avaliamos [matemática]{80000000001}{81}[/math] sem usar uma calculadora? Simples. Primeiro dividimos [matemática]80000000001[/math] por [matemática]9[/math], depois dividimos o resultado por [matemática]9[/math] novamente. Note que [matemática]80 = 8\ vezes 9 + 8[/math]. Então [matemática]\dfrac{80000000001}{9} = 888888888889[/math]. Agora dividimos este número novamente por [matemática]9[/matéria]. Desta vez, note que [matemática]88 = 9\ vezes 9 + 7[/math], [matemática]78 = 8\ vezes 9 + 6[/math], [matemática]68 = 7\ vezes 9 + 5[/math], [matemática]58 = 6\ vezes 9 + 4[/math], [matemática]48 = 5\ vezes 9 + 3[/math], [matemática]38 = 4\ vezes 9 + 2[/math], [matemática]28 = 3\ vezes 9 + 1[/math] e [matemática]18 = 2\ vezes 9 + 0[/math]. Hence [math]\dfrac{8888888889}{9}=987654321[/math]. Então, finalmente, a soma dada é

[matemática]10\vezes 987654321 - 45 = 9876543210 - 45 = 9876543200 - 35 = 9876543165.[/math]