Qual é o propósito de uma mudança na base?

Mudar a base é realmente mudar o sistema de coordenadas em que se está a trabalhar. Muitas vezes, quando se trabalha num problema de física, a escolha certa do sistema de coordenadas é crucial, e muitas vezes pode simplificar muito as coisas. Por exemplo, um problema clássico nas aulas de física introdutória é um bloco deslizando por um plano. Os alunos são normalmente solicitados a determinar a velocidade do bloco na parte inferior, ou a sua distância na encosta em função do tempo. Em qualquer caso, parte da solução é mudar os sistemas de coordenadas, ou seja, a base da mudança. Em problemas 2D, geralmente consideramos o comportamento de um objeto na direção horizontal (correspondente ao vetor base [matemática]{x} [/math]) e na direção vertical (correspondente ao vetor base [matemática]{y}[/math]. No entanto, para o problema do plano inclinado, ambas as quantidades estão mudando ao mesmo tempo, o que dificulta o acompanhamento das mesmas. Portanto, é conveniente rodar todo o sistema de coordenadas de modo que a [matemática]{x} que pontos vectoriais de base ao longo da encosta e da [matemática] que [/math] pontos vetoriais base normal para ele. Sabemos que, com esses novos vetores base, já que o bloco desliza pela encosta, só temos que nos preocupar com o movimento na direção [matemática]{x}[/math], tornando o problema mais simples. É claro que devemos expressar a gravidade em termos desta nova base, mas isso não é tão difícil. Outro exemplo, mais complexo da física é o do movimento rígido do corpo. Considere um objeto 3D girando sobre um ponto do objeto (geralmente é o centro da massa). Essa rotação pode ser representada como um vetor de velocidade angular [matemática]vec{\i},[/math]cuja magnitude é a taxa de rotação em radianos por segundo e pontos de direção ao longo do eixo de rotação. Estamos então interessados na relação entre essa velocidade angular e o vetor de momento angular [matemática]vec{L}.[/math] Como se vê, os dois estão relacionados pela equação [matemática]vec{L}=Ivec{\i},[/math] onde [matemática]I[/math] é uma matriz 3 por 3 chamada de tensor de inércia. Alguns que tiveram uma aula introdutória de física reconhecerão isto como o análogo 3D da fórmula [matemática]L=I\omega[/math] para rotação em 2D. Agora, ao que parece. [matemática]I [/math] é uma matriz simétrica, o que significa que ela é diagonalizável. O que isso significa é, basicamente, que podemos encontrar números reais [matemática]lambda_1,lambda_2,lambda_3 [/math], não necessariamente distintos, e uma base orto-normal [matemática]vec{e}_1, vec{e}_2, vec{e}_3. [/math](chamado os eixos principais do corpo) tal que [matemática] I=lambda_i=lambda_i=vec{e}_i. [/math] Esta é uma grande notícia! Isto significa que, se escrevermos [matemática]|vec{\i}_mega_1}vec{e}_1+\i}mega_2\vec{e}_2+\i}mega_3\vec{e}_3 [/math]em termos desta nova base, então, pela propriedade distributiva da multiplicação matricial, nós só temos [matemática]vec{L}==lambda_1=mega_1=vec{e}_1+\i}lambda_2=mega_2=vec{e}_2+\i}lambda_3=mega_3=vec{e}_3[/math], que é muito mais simples do que a nossa expressão original. A partir disto, vemos que a escolha certa de uma base pode fazer uma grande diferença na complexidade relativa de um problema, e assim saber como mudar entre bases é essencial.