O Linux pode tirar proveito dos monitores GSync e FreeSync?

O Linux antigo pode se sair bem com o GSync desde que você tenha instalado o driver NVidia para suas placas NVidia. Não tenho certeza se os últimos drivers da NVidia adicionaram FreeSync como os do Windows para metade das placas da série 10 e todas as coisas posteriores. Terá que verificar - mas para FreeSync em placas NVidia, isso depende de NVidia.

FreeSync costumava funcionar somente se você instalasse o driver AMD PRO para sua placa AMd, se ele fosse capaz de FreeSync.

No entanto, desde o kernel 4.21 esta parte agora está cozida nos drivers embutidos no kernel. Não há mais necessidade de instalar um driver separado. Então se você tem uma placa AMD, então o FreeSync funciona na caixa sem mesmo um driver a ser instalado. Pelo menos no Linuxes atual - o kernel já está passando para a versão 5.0 com algumas distribuições indo para o limite, enquanto outras ainda estão um pouco atrás.

Então verifique com a distro. Que kernel você tem, e que drivers você instalou manualmente.

Even então (digamos em uma distro de movimento lento) é possível atualizar o kernel além do que sua distro dá por padrão. Só não é uma experiência fora da caixa.