Qual é a solução geral da equação diferencial [matemática](2x+x^2y^3)dx+(x^3y^2+4y^3)dy=0[/math]?

Okay, então nós're tentando resolver

[matemática](2x+x^2y^3)dx+(x^3y^2+4y^3)dy=0[/math]

Esta é uma equação exata. Isto significa que, para uma equação diferencial da forma [matemática]P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0[/math], existe alguma função, [matemática]\phi(x,y) [/math] tal que [matemática]frac{\i}{\i1}(x,y)[/math] [/math] [/math] [/math] [x,y] [/math] [matemática]frac{\i}{\i1}(x,y)[/math] [/math]. Em termos simples, cada uma das funções que são coeficientes de [matemática]dx[/math] e [matemática]dy[/math] são simplesmente as derivadas parciais de [matemática]\phi(x,y)[/math].

Apenas para manter as coisas gerais, deixemos's olhar para a forma geral de uma equação exata para ver se podemos descobrir uma solução. Se simplesmente dividirmos por [matemática]dx[/math], nossa equação se parece com isto:

[matemática]|frac{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}p>[matemática]{\i}frac{\i}{\i}{\i}{\i1}p>Esta parece-se muito com a regra da corrente para funções de duas variáveis, Então podemos deduzir que o LHS da equação diferencial se reduz a

[matemática]|dfrac{d}{dx}\phi(x,y) = 0[/math]

WhWh>que é igual a zero, é claro.

Se a derivada de [matemática]\phi(x,y) = 0[/math], então [matemática]\phi(x,y)[/math] deve ter sido uma constante. Como nossa equação é apenas uma função de duas variáveis, e não contém nenhuma derivada agora, isso deve significar que a solução implícita para a equação diferencial é [matemática]\phi(x,y) = C[/math], onde [matemática]C[/math] é uma constante arbitrária. Bastante legal!

Let's recap. Reduzimos nossa equação diferencial para a derivada (w.r.t. [matemática]x[/math]) dessa função [matemática]\phi(x,y)[/math], (que é essencialmente apenas uma equação diferencial extremamente simples) e como é igual a zero, [matemática]\phi(x,y)[/math] deve ser uma constante, e portanto temos nossa solução geral implícita.

>p>Let's aplicar isso a essa equação. We're tentando encontrar [matemática]\phi(x,y)[/math], e podemos fazer isso integrando [matemática]P(x,y)[/math] ou [matemática]Q(x,y)[/math]. Deixemos's fazê-lo com [matemática]P[/math] primeiro.

[matemática]\phi = {(2x+x^2y^3) \ dx} = x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + C(y)[/math]

Nota que nossa constante de integração é na verdade uma função de [matemática]y[/math], a variável que tratamos como uma constante quando nos integramos. Para encontrar [matemática]C(y)[/math], podemos diferenciar [matemática]\phi(x,y)[/math] em relação à [matemática]y[/math] e defini-la igual a [matemática]Q(x,y)[/math]:

[matemática]|dfrac{d}{d}{dy}\phi(x,y) = x^3y^2 + C'(y) = x^3y^2+4y^3[/math]

[matemática]}implica C'(y) = 4y^3[/math]

[matemática]\implica C(y) = y^4[/math].

Assim, temos agora a nossa expressão para [matemática]\phi[/math]:

[matemática]\phi(x,y) = x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + y^4[/math]

Assim, a nossa solução geral implícita para esta equação é:

[matemática]{x^2 + \frac{1}{3}x^3y^3 + y^4 = C}[/math], onde [matemática]C[/math] é uma constante arbitrária.

Edit: Eu olhei para algumas de suas outras perguntas e parece que você'fez muitas perguntas semelhantes, talvez problemas com o dever de casa? De qualquer forma, espero que você use esta resposta a seu favor, e eu recomendo dar uma olhada nisto, ela serviu como uma atualização para mim em equações exatas. Fazer problemas por conta própria é a única maneira de aprender, e faltam alguns pequenos pedaços de intuição e rigor na minha resposta, por isso recomendo que tente preencher essas lacunas para obter uma melhor compreensão das equações exatas.