A que equivale a soma infinita de '1+4/7+9/7^2+16/7^3+'?

Este é um exemplo simples de uma série chamada Progressão Aritmética-Geométrica.

Deixe a soma que você precisa encontrar ser S.

[matemática]S = 1 + 4/7 + 9/7^2 + 16/7^3+...[/math] (eqn 1)

Multiply S pela razão comum (neste caso [matemática] 1/7[/math] )

Então, obtemos,

S[matemática]1/7 = 1/7+4/7^2+9/7^3+...[/math] (eqn 2)

Subtrair a equação 2 de 1,

[matemática]S = 1 + 4/7 + 9/7^2 + 16/7^3+...[/math]
[matemática]-(1/7)S = -1/7 - 4/7^2 - 9/7^3 - ... [/math]

[matemática] S( 1- 1/7) = 1 + (4-1)/7 + (9-4)/7^2 + (16-9)/7^3 + ...[/math]

[matemática] S(6/7) = 1 + 3/7 + 5/7^2 + 7/7^3 + ...[/math]

Agora vemos que os numeradores do lado direito formam uma progressão aritmética. Para resolver este tipo de problema, multiplique novamente ambos os lados pela razão comum ([matemática]1/7[/math]) e subtraia.

[matemática]S(6/7)(1 - 1/7) = 1 + (3-1)/7 + (5-3)/7^2 + (7-5)/7^3 + ..[/math]

[math] S (36/49) = 1 + 2 [ 1/7 + 1/7^2 + 1/7^3 + ...] [/math]

The terms in the bracket form a simple infinite geometric progression.

(Refer Geometric progression if you are unaware of the formula)

[math] S(36/49) = 1 + 2[ (1/7) / (1 - 1/7) ][/math]

[math] S(36/49) = 4/3[/math]

[math]S = 49/27[/math]

Hope this helps.

Please correct me if there is some mistake.