Existe algum aplicativo de podcast que armazene toda a assinatura?

Bem dependendo do sistema operacional aqui're alguns aplicativos:

• iTunes e iOS Podcasts app, sempre que você assinar um podcast ele é salvo e ligado à sua conta iTunes e sincronizado em todos os seus dispositivos Apple, então mesmo se você formatar seu iPhone ou Mac você pode sempre restaurar os podcasts fazendo login em sua conta iTunes.
• Podcasts (Beta), um cliente de podcast UWP gratuito para Windows 10 Mobile e PCs. Ele salva sua lista de podcasts subscritos no OneDrive e a sincroniza com o seu Windows 10 Mobile e PC. Portanto, mesmo se você redefinir de fábrica seu celular Windows 10 Mobile ou formatar seu PC, desde que você tenha ambos os seus dispositivos sincronizados com OneDrive você pode sempre restaurar seus podcasts.
• Com Android ele precisa de um pouco de trabalho, para Android você primeiro precisa instalar o Video Podcatcher Deluxe, it's um aplicativo pago. Depois instale o gPodder no seu computador Mac, Windows ou Linux. Depois crie uma conta no gPodder. Entre na sua conta do gPodder através do cliente desktop do gPodder e através do Video Podcatcher Deluxe no seu Android. Agora abra sua conta do gPodder no seu navegador e, sob o gerenciamento do dispositivo, configure seu telefone Android e seu desktop para sincronia entre si. Uma vez configurado corretamente, toda a sua assinatura será armazenada na sua conta do gPodder. Assim, mesmo se você formatar o seu telefone Android ou computador você sempre pode restaurar seus podcasts fazendo login na sua conta do gPodder.