Se C = f(T) dá o custo, em dólares, para a mina de T-tons de calcário de uma pedreira, qual é o significado da afirmação f' (5000) = 285?

Não tenho certeza do que eles querem aqui, mas você precisa reconhecer uma derivada quando você vê uma e ficar confortável com a atribuição [das unidades corretas] que vão com ela.

YOu não teve problemas em dizer que C = f(T) é custo em $.

$ é uma unidade.

f' é uma derivada. A única variável disponível para diferenciar com/by é T, então f' deve ser dC/dT e essas unidades têm que ser $ /Tons porque é o que eles dizem que é/ são.

Now dC/dT é uma função assim como C é uma função e você sabe muito pouco sobre isso.

E por definição, dC/dT é a inclinação da curva C vs T e você não sabe o que é f então você não tem idéia de como é: linha reta? constante? exponencial? Seno? Não há como saber como é.

Mas você sabe que a inclinação dessa curva é 285 [quais são as unidades da derivada?] quando T = 5000.

É isso que é MEANS dizer f'(5000) = 285.

Então se o dono vier até você e perguntar como as coisas estão indo, tudo que você pode dizer a ele é: "Bem, quando chegamos a 5000 Toneladas, estava custando $285 por tonelada para tirá-la""

Essa é a inclinação da curva AQUELE PONTO e você não tem idéia de qual é a inclinação em qualquer outro lugar.

Você precisa estudar isso até que você diga: "Bem, obviamente, é isso". Não pare de estudá-la até chegar a esse ponto.

Porque DEVERIA ser óbvio para você e você precisa aprender tanto AGORA.