Quais são os homomorfismos do Q8 ao Z4 e do Q8 ao Z8?

Temos (Q_8) = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k} e (Z_4)={[0],[1],[2],[3]}.

Se f: (Q_8)→(Z_4) é um homomorfismo, então f(1) = [0], f(-1)=[0] ou [2] porque [(-1)^2]=1.

No primeiro caso, a ordem de f(i) deve dividir a ordem de i, que é 4 e assim f(i) é de ordem 4, 2 ou 1. No primeiro caso, f(i) pode ser [1] ou [3]. Assim f(-i) = [3] ou [1], respectivamente. E em ambos os casos f(-1) = f(i.i)= [2].

Next se nós também tomarmos f(j) = [1], então f(k)=f(i.j) = f(i)+f(j) = [1]+[1]=[2] ou [3]+[1]=[0]. Isto dá [2] = f(-1) = f(k.k) = f(k)+f(k) =[2]+[2]=[0] ou [0]+[0] =[0], levando a uma contradição. Isto implica que ambos f(i) e f(j) não podem ser de ordem 4.

Por isso tomamos f(j)=[2]. Isto dá [2] = f(-1)=f(j.j)=f(j)+f(j)=[2]+[2]=[0] #. Os argumentos acima mostram que nenhum dos elementos de Q_8, tendo ordem 4, pode ser mapeado em um elemento de ordem 4 em Z_4.

Assim as imagens de i, j e k e seus inversos devem ser [2] ou [0]. Se f(i)=[2]=f(j), então f(k)=f(i.j)=f(i)+f(j)=[2]+[2]=[0] =f(-k). Um pouco de reflexão em consideração à estrutura de Q_8 sobre a simetria dos elementos de ordem 4 mostra que os únicos homomorfins: Q_8→Z_4 são os seguintes:

1: f(a) = [0] para todos a em Q_8.

2: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [2]), (-i, [2]), (j, [2]), (-j, [2]), (k, [0]), (-k, [0])}.

3: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [2]), (-i, [2]), (j, [0]), (-j, [0]), (k, [2]), (-k, [2])}.

4: f = {(1, [0]), (-1, [0]), (i, [0]), (-i, [0]), (j, [2]), (-j, [2]), (k, [2]), (-k, [2])}.

Estes são todos os homomorfismos distintos de Q_8 a Z_4.

Encontramos agora o homomorfismo do grupo Hamiltoniano Q_8 para o grupo Z_8 de inteiros sob adição modulo 8:

Z_8 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]}. Note que este grupo tem os elementos [1], [3], [5] e [7] que são de ordem 8, pois cada um deles é um gerador do grupo. Como as ordens dos elementos de Q_8 são apenas 1, 2 ou 4, nenhum dos seus elementos pode ser mapeado por um homomorfismo. Portanto, se f:Q_8→Z_8 é qualquer homomorfismo, a imagem de f está contida no subgrupo H={[0], [2], [4], [6]}. Note também que H é isomórfico para o grupo Z_4 em +. Assim podemos obter todos os homomorfismos pela primeira metade da resposta simplesmente substituindo a imagem [2] ali por [4] aqui, pois H é um grupo cíclico de ordem 4 gerado por [2] (ou por [6]). Portanto, há exatamente 4 homomorfismos aqui também que podem ser escritos explicitamente, como indicado acima.