A série do Grandi não poderia ser igual a -1?

Usando essa lógica a série poderia ser igual a qualquer número inteiro, dependendo de como você ordena a soma:
[matemática]S:=\S=1+S=-1+S==S==Sum_{k=0}^(-1)^k[/math]
[math]S=1+S=-1+S=;Leftrightarrow =; S=z =; {\i1}forall zepsilon {Z}[/math]
Por essa razão a convergência de uma série infinita é definida pela convergência das suas somas parciais:
[matemática]sum_{k=0}^^propto}a_k=c {\an8}; {\an8}; seta para a direita esquerda; {\an8} \lim_{nrightarrow {nrightarrow }sum_{k=0}^{n}a_k=c[/math]
(neste caso, a sequência [matemática](a_k)_{k\epsilon\mathbb{N}}[/math] é definida por [matemática]a_k=(-1)^k[/math] )
Um requisito útil para a convergência de uma série é que a sua sequência deve convergir para zero, o que claramente não é o caso com Grandi's séries.

Há outro conceito que funciona com Grandi's series: a soma de Cesàro (o primeiro exemplo é Grandi's series). Para a série para a sequência [matemática](a_k)_{k}epsilon\mathbb{N}[/math] a Soma Cesàro é
[matemática]|lim_{n{n}rightarrow {n}propto }frac{1}{n}sum_{k=0}^{n}a_k[/math]
Para Grandi's a série Cesàro Sum é 1/2, já que as somas parciais são 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...

A parte importante é que em ambos os cálculos olhamos apenas para a sequência das somas parciais porque as séries infinitas são, ao contrário das somas orinárias, realmente ordenadas (diz a Wikipédia: Séries (matemática)).