Quais são alguns exemplos de séries lentamente divergentes?

Comece com o seu exemplo.

[matemática]1+frac{1}{2}++frac{1}{3}+ldots = \\i[/math].

Isto de facto diverge bastante lentamente: tem de adicionar mais de doze mil destes números só para ver a soma exceder 10.

P>Obviamente, você pode fazer melhor:

[matemática]|frac{1}{10}+frac{1}{20}+frac{1}{30}+ldots = {\i1}infty[/math].

Isso obviamente diverge "mais lentamente", no sentido de que depois de doze mil elementos sua soma chega apenas a um mísero 1. E, escusado será dizer, você pode empurrar isso o quanto quiser, como em

[matemática]|frac{1}{1,000}+frac{1}{2,000}+frac{1}{3,000}+\i1}ldots = \i1}infty[/math].

Por um lado, isso parece crescer mais lentamente, mas na verdade, a taxa de crescimento ainda é do mesmo tipo (logarítmico). Apenas a constante é diferente.

Até agora tornamos os denominadores maiores multiplicando-os todos por 10, ou por 1.000, e podemos continuar e multiplicá-los todos por 1.000.000.000 ou o que quer que seja. O que aconteceria se multiplicássemos os denominadores por algo que por si só cresce até o infinito? A coisa mais natural a tentar é substituir a [matemática]frac{1}{n}[/math] por [matemática]frac{1}{n^2}[/math], mas claro que isso cruza a linha e obtemos uma série convergente:

>p>[matemática] {n^2} = {n^2} = ^frac{\i^2}{6} P> Então deixe's tentar ir um pouco mais suavemente e multiplique os denominadores por [matemática]\log(n)[/math] em vez de [matemática]n[/math].

[math]|sum |frac{1}{n {n }log(n)} = { /math].

Funcionou! Agora temos uma série convergente muito mais lenta do que a original: tornamos os denominadores maiores não por um fator constante, mas por um fator que por si só cresce sem limites. Ao invés de uma taxa de crescimento logarítmico, esta série exibe uma taxa de crescimento logarítmico: para passar de 10, ao invés de elementos [matemática]e^{10}[/math], você'vai precisar de elementos [matemática]e^{e^{10}}[/math]! Os primeiros 12.000 elementos desta série levam você a cerca de 3, mas os primeiros 120.000 elementos só melhoram isso para cerca de 3,25, e os primeiros 1.200.000 elementos empurram isso para 3,43.

(A propósito, se você'não tem certeza de como provar a divergência desta última série, a maneira mais fácil de fazer isso é com um teste super legal e fácil de visualizar chamado teste de condensação Cauchy. Esse mesmo teste lhe permitirá entender todas as séries I'será mencionado nesta resposta, tanto divergentes como convergentes).

A última série que temos está muito perto de ser convergente - uma pequena mudança e perde vapor e converge:

[matemática]{1}{n {n }log^2(n)} \\\i1}em grande [/math].

>p> Mas ainda podemos melhorar. Aqui'é uma série ainda mais divergente, que na verdade mal está a fazer:

[matemática]sum |frac{1}{n }log(n) }log(n)} =infty[/math].

Isto é verdadeiramente espantoso, uma vez que multiplicar o denominador por apenas mais um pequeno factor de [matemática]log(n))[/math] muda tudo:

[matemática]|sum |frac{1}{n {n }log(n) ^2(n)}log(n)} \\\a[/math].

P>Pode provavelmente ver para onde isto vai - você pode continuar a criar séries cada vez mais - muito mais - pouco divergentes, cuja taxa de divergência é de cortar a respiração.

Este é o exemplo padrão de séries convergentes/divergentes que é usado para mostrar que não há's nenhuma "linha divisória" simples entre as regiões convergentes e divergentes - nenhum teste simples de comparação com uma única função mágica pode permitir que você saiba o que diverge e o que não diverge't.

Bummer para estudantes de cálculo.

p>>br>Nota: Anon sugeriu a soma dos recíprocos dos primes como mais um bom exemplo de uma série lentamente divergente. Em termos de lentidão, é realmente apenas tão lenta como um log-log, que é o segundo exemplo na nossa sequência infinita de exemplos.

EDIT: Existem obviamente muitas outras formas de fazer uma série divergente divergir mais lentamente - eu estava apenas sugerindo uma dessas abordagens. Como Tom Davis apontou, você também pode inserir blocos grandes e crescentes de 0's entre elementos consecutivos de uma série sem afetar seu estado de convergência, mas afetando a velocidade.