A matemática é uma arte ou uma ciência?

A matemática é uma ciência formal: ela estuda objetos e estruturas formais (mais comumente chamados de "objetos abstratos"), as relações entre eles, e visa enquadrar a discussão dentro de uma teoria sistemática baseada em um número mínimo de axiomas e regras de inferência, determinando se eles podem ser isolados e ter sua "autonomia" como uma porção da teoria ou para subsumí-los em sistemas formais mais abrangentes.

O método Its é o hipotético-dedutivo: os axiomas são postulados, e ao aplicar-lhes as regras inferenciais de forma sintaticamente correcta, conduzem a resultados válidos dentro do sistema formal assim definido, excluindo a possibilidade de questionar ainda mais a sua validade (por esta razão, são universais e intemporais: cada teorema devidamente comprovado foi válido há milhares de anos e será de milhares de anos no futuro), ou mais frequentemente considera os resultados obtidos em problemas específicos como dados (no sentido de Bertrand Russell) e tenta identificar uma lista de axiomas específicos através dos quais sistematicamente descobre esses resultados fornecendo o contexto teórico apropriado - foi o que aconteceu, por exemplo, com as noções de análise matemática, rigorosamente formalizadas no século XIX, mas descobertas por Newton e Leibniz dois séculos mais tarde.

Física, química, biologia, etc., são ciências naturais: estudam fenómenos naturais para identificar relações entre observáveis em determinadas ordens de grandeza, depois extraem da matemática para desenvolver modelos úteis para formalizar essas relações recíprocas e tornar mensuráveis esses factores tão significativos, para testar experimentalmente a exactidão do modelo' e determinar em que âmbito de validade e com que exactidão ele fornece uma descrição detalhada de uma parte da realidade.

O seu método é o experimental, que em suma é aplicado como acabou de ser dito.

A matemática em si não é uma arte, mas fazer matemática, que é categorizar e compreender conceitos, identificar as relações que existem entre eles, provar resultados, resolver problemas e equações, construir rigorosamente teorias, etc., implica referir-se a toda uma série de técnicas ou artifícios que, com referência ao significado etimológico grego da arte (como τέχνη, técnica) pode ser considerado de alguma forma a sua expressão.