Qual é o melhor aplicativo gratuito para baixar músicas e assistir vídeos em um telefone Windows?

Para baixar músicas a melhor opção é usar o aplicativo oficial Music 163 app.
Está disponível na loja: 网易云音乐 - Windows Apps no Microsoft Store

Depois de instalar este aplicativo você pode ir para este link para se registrar gratuitamente na conta Netease Music.
网易用户中心

Apenas abra o link em duas abas, uma sem Google Translate e outra com Google Translate para saber sobre os campos obrigatórios que você precisa preencher.

A aplicação tem incorporado um leitor de música para reproduzir as músicas baixadas porque você não pode acessá-las do Groove Music.

Como para baixar vídeos do YouTube você pode ir para o Awesome Tube da loja, é um cliente não-oficial do YouTube. Ele tem todos os recursos do cliente oficial do YouTube, incluindo streaming de vídeos ao vivo e uploads, porém tem um recurso adicional, ou seja, ele permite que você baixe vídeos para o armazenamento do seu telefone ou para o seu cartão SD. Ele até permite que você baixe vídeos protegidos por direitos autorais que o aplicativo oficial do YouTube não permite que você salve offline.

É um aplicativo compatível com o UWP Continuum. Você pode baixá-lo no seu dispositivo Windows 10 Mobile daqui.
Awesome Tube - Best Youtube Client - Windows Apps no Microsoft Store

Para reproduzir vídeos e músicas salvas no seu dispositivo, você pode ir para VLC, ele tem uma bela interface de usuário e muitos recursos. Basta lembrar de ir para a versão Windows 10 Mobile UWP, pois a versão antiga do Windows Phone 8.1 não está mais atualizada.
VLC - Windows Apps no Microsoft Store