Que linguagem de programação devo usar para criar uma extensão de navegador que possa funcionar em todos os navegadores?

JavaScript.

Aqui está porque:

Se você quiser criar uma extensão que os usuários possam instalar através de um mercado, como a extensão do Google, então você precisa escrever aplicativos usando as API's que eles fornecem. Para o Chrome, trata-se de uma API JavaScript. Microsoft Edge e Opera são derivados do Chrome e suportam a mesma API. O Firefox é diferente, mas também utiliza JavaScript e uma API muito semelhante. O Safari também usa JavaScript, embora a API e o processo de registro sejam diferentes. Esses navegadores são coletivamente responsáveis pela maioria das atividades de navegação.

Caveat:

Existem muitos outros navegadores, a maioria dos quais tem menos de 0,1% de marketshare. Alguns são muito diferentes, outros não suportam extensões.

E que tal WASM?

Existirão novas opções num futuro muito próximo para trabalhar com web assembly (WASM), mas tenha em mente que WASM é uma ponte para o JavaScript. Em outras palavras, você pode ser capaz de escrever alguma lógica em outra linguagem, mas ainda é exposto à extensão via JavaScript binding.

Portanto lembre-se que a única linguagem realmente desenhada para trabalhar com o DOM é o JavaScript. Enquanto algumas extensões de browser são bastante simples (ou seja, não é necessária uma IU), aquelas que precisam de uma IU ainda precisam de implementá-la em HTML/CSS, fazendo do JavaScript o ajuste mais natural.

Bottom line: O JavaScript é a opção mais difundida. O WASM pode abrir portas para grandes aumentos, mas não será uma solução de tamanho único.