Qual é a derivada de # 2 ^ x #?

Para poder calcular a derivada de #2^x#, você precisará usar duas coisas

• o fato de que #d/dx(e^x) = e^x#

• o regra da cadeia

A idéia aqui é que você pode usar o fato de saber qual é a derivada de #e^x# é tentar determinar qual é a derivada de outra constante elevado ao poder de #x#, nesse caso, igual a #2#, é.

Para fazer isso, você precisa escrever #2# como número exponencial que tem a base igual a #e#.

Use o fato de que

#color(blue)(e^(ln(a)) = a)#

escrever

#e^(ln2) = 2#

Isso implica que #2^x# será equivalente a

#2^x = (e^(ln2))^x = e^(x * ln2)#

Seu derivado agora se parece com isso

#d/dx(e^(x * ln2))#

É aqui que a regra da cadeia entra em jogo. Você sabe que a derivada de uma função #y = f(u)# pode ser escrito como

#dy/dx = dy/(du) * (du)/dx#

No seu caso, #y = e^(x * ln2)#e #u = x * ln2#, para que sua derivada se torne

#d/dx(e^u) = underbrace(e^u/(du))_(color(blue)(=e^u)) * d/dx(u)#

#d/dx(e^u) = e^u * d/dx(u)#

Agora substitua #u# para calcular #d/dx(u)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * d/dx(x * ln2)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2 d/dx(x)#

#d/dx(e^(x * ln2)) = e^(x * ln2) * ln2#

Portanto,

#d/dx(2^x) = color(green)(2^x * ln 2)#