Qual é a derivada de # y = arctan (4x) #?

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#4/(16x^2 + 1)#

Explicação
Primeiro lembre-se de que #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#.

Através do regra da cadeia:

1). #d/dx[arctan 4x] = 4/((4x)^2 + 1)#

2). #d/dx[arctan 4x] = 4/(16x^2 + 1)#

Se não está claro o porquê #d/dx[arctan x] = 1/(x^2 + 1)#, continue lendo, enquanto eu mostrarei a identidade.

Vamos começar simplesmente com

1). #y = arctan x#.

A partir disso, está implícito que

2). #tan y = x#.

Usando diferenciação implícita, tendo o cuidado de usar a regra de cadeia em #tan y#, chegamos a:

3). #sec^2 y dy/dx = 1#

Resolvendo para #dy/dx# nos dá:

4). #dy/dx = 1/(sec^2 y)#

O que simplifica ainda mais:

5). #dy/dx = cos^2 y#

Em seguida, uma substituição usando nossa equação inicial nos dará:

6). #dy/dx = cos^2(arctan x)#

Isso pode não parecer muito útil, mas há uma identidade trigonométrica que pode nos ajudar.

Recordar #tan^2alpha + 1 = sec^2alpha#. Isso parece muito com o que temos na etapa 6. De fato, se substituirmos #alpha# com #arctan x#e reescreva o #sec# em termos de #cos# então obtemos algo bastante útil:

#tan^2(arctan x) + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Isso simplifica para:

#x^2 + 1 = 1/(cos^2(arctan x))#

Agora, basta multiplicar algumas coisas e obteremos:

#1/(x^2 + 1) = cos^2(arctan x)#

Lindo. Agora podemos simplesmente substituir a equação que temos na etapa 6:

7). #dy/dx = 1/(x^2 + 1)#

E voilà - aqui está a nossa identidade.

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