Qual é a derivada de # y = tan (x) #?

A derivada de #tanx# is #sec^2x#.

Para ver o porquê, você precisará conhecer alguns resultados. Primeiro, você precisa saber que a derivada de #sinx# is #cosx#. Aqui está uma prova desse resultado dos primeiros princípios:

Depois de saber isso, também implica que a derivada de #cosx# is #-sinx# (que você também precisará mais tarde). Você precisa saber mais uma coisa, que é a Regra do quociente para diferenciação:

Quando todas essas peças estão no lugar, a diferenciação é a seguinte:

#d/dx tanx#
#=d/dx sinx/cosx#

#=(cosx . cosx-sinx.(-sinx))/(cos^2x)# (usando regra de quociente)

#=(cos^2x+sin^2x)/(cos^2x)#

#=1/(cos^2x)# (usando a identidade pitagórica)

#=sec^2x#

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