Qual é a integral de # cos ^ 6 (x) #?

Esta será uma resposta longa.

Então, o que você deseja encontrar é:

#int cos^6(x)dx#

Você pode se lembrar de uma regra prática: sempre que precisar integrar um poder uniforme da função cosseno, use a identidade:

#cos^2(x) = (1+cos(2x))/2#

Primeiro, dividimos os cossenos:

#int cos^2(x)*cos^2(x)*cos^2(x) dx#

Agora podemos substituir todos os #cos^2(x)# com a identidade acima:

#int (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 * (1+cos(2x))/2 dx #

Você pode trazer o fator #1/8# fora da integral:

#1/8 int (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) * (1+cos(2x)) dx #

Agora você pode aplicar FOLHA duas vezes, mas eu prefiro usar Newton Teorema binomial. A partir deste teorema é que

#(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3#

Vamos aplicar isso à integral.

#1/8 int (1+cos(2x))^3dx #

#=1/8 int 1^3+3*1^2*cos(2x)+3*1*cos^2(2x)+cos^3(2x) dx#

#=1/8 int 1+3cos(2x)+3cos^2(2x)+cos^3(2x) dx#

Agora já podemos juntar um pouco essa integral:

#1/8(int 1dx + 3int cos(2x)dx + 3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#

#1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#

Se você precisa saber como surgiu instantaneamente esse segundo mandato:
#int cos(2x)dx#

Sempre que você tiver uma integral básica (como cos), mas com uma #x# (#ax#), você pode apenas integrar normalmente, mas no final, multiplicar por um fator de #1/a#. Aqui se torna:

#sin(2x)*1/2 #

Voltando ao problema: lembraremos dos dois primeiros fatores da solução e resolveremos #int cos^2(2x)dx# e #int cos^3(2x)dx# separadamente.

#int cos^2(2x)dx = int (1 + cos(4x))/2#

(usando a identidade. Torna-se #4x# porque você dobra.)

#= 1/2int dx + 1/2int cos(4x)dx#

#= 1/2x + 1/2sin(4x)*1/4#

#= 1/2x + 1/8sin(4x)#

Em seguida, #int cos^3(2x)dx#

Sempre que você tem um poder ímpar de cossenos, pode fazer o seguinte:

#int cos^2(2x)cos(2x)dx#

Agora você deve usar a identidade #sin^2(x)+cos^2(x) = 1#

#int (1-sin^2(2x))cos(2x)dx#

Agora você deve aplicar #u#-substituição:

#u = sin(2x) <=> du = 2cos(2x)dx <=> 1/2 du = cos(2x)dx#

So

#1/2int (1-u^2)du#

#1/2int du - int u^2 du#

#1/2(u - 1/3u^3)#

#1/2[sin(2x)-1/3sin^3(2x)]#

Agora, temos todas as nossas peças para completar a integral. Lembre-se que tínhamos:

#1/8x+ 3/16sin(2x) + 1/8(3int cos^2(2x)dx + intcos^3(2x)dx)#
#= 1/8x + 3/16sin(2x) + 3/8[(1/2x + 1/8sin(4x)) + 1/8[1/2 * (sin(2x)-1/3sin^3(2x))]#

#=1/8x + 3/16sin(2x) + 3/16x + 3/64sin(4x) + 1/16sin(2x)-1/48sin^3(2x)#

Você pode simplificar um pouco, o que não é tão difícil, deixarei isso como um desafio para você: D.

Eu espero que isso ajude. Foi divertido!