Qual Ă© a integral de #sqrt (9-x ^ 2) #?

Sempre que vejo esse tipo de função, reconheço (praticando muito) que vocĂȘ deve usar uma substituição especial aqui:
#int sqrt(9-x^2)dx#
#x = 3sin(u)#
Pode parecer uma substituição estranha, mas vocĂȘ verĂĄ por que estamos fazendo isso.
#dx = 3cos(u)du#
Substitua tudo na integral:

#int sqrt(9-(3sin(u))^2)*3cos(u)du#
Podemos tirar o 3 da integral:
#3*int sqrt(9-(3sin(u))^2)*cos(u)du#
#3*int sqrt(9-9sin^2(u))*cos(u)du#
VocĂȘ pode levar em consideração o 9:
#3*int sqrt(9(1-sin^2(u)))*cos(u)du#
#3*3int sqrt(1-sin^2(u))*cos(u)du#

Conhecemos a identidade: #cos^2x + sin^2x = 1#
Se resolvermos por #cosx#, NĂłs temos:
#cos^2x = 1-sin^2x#
#cosx = sqrt(1-sin^2x)#
É exatamente isso que vemos na integral, para que possamos substituí-la:

#9 int cos^2(u)du#
VocĂȘ pode conhecĂȘ-lo como uma antiderivada bĂĄsica, mas, se nĂŁo, pode descobrir o seguinte:

Usamos a identidade: #cos^2(u) = (1+cos(2u))/2#

#9 int (1+cos(2u))/2 du#
#9/2 int 1+cos(2u) du#
#9/2 (int 1du + int cos(2u)du)#
#9/2 (u + 1/2sin(2u)) + C# (vocĂȘ pode resolver isso por substituição)
#9/2 u + 9/4 sin(2u) + C#

Agora, tudo o que precisamos fazer é colocar #u# para a função. Vamos ver como a definimos:
#x = 3sin(u)#
#x/3 = sin(u)#
Para obter #u# fora disso, vocĂȘ precisa assumir a função inversa de #sin# dos dois lados, isso Ă© #arcsin#:

#arcsin(x/3) = arcsin(sin(u))#
#arcsin(x/3) = u#

Agora precisamos inseri-lo em nossa solução:

#9/2 arcsin(x/3) + 9/4 sin(2arcsin(x/3)) + C#

Esta é a solução final.