Qual é a raiz quadrada do 89?

Desde #89# é primo, #sqrt(89)# não pode ser simplificado.

Você pode aproximar usando um método de Newton Raphson.

Eu gosto de reformular um pouco da seguinte forma:

Deixei #n = 89# seja o número do qual você deseja a raiz quadrada.

Escolha #p_0 = 19#, #q_0 = 2# de modo a #p_0/q_0# é uma aproximação racional razoável. Eu escolhi esses valores particulares desde #89# está a meio caminho entre #9^2 = 81# e #10^2 = 100#.

Itere usando as fórmulas:

#p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2#

#q_(i+1) = 2 p_i q_i#

Isso dará uma melhor aproximação racional.

Assim:

#p_1 = p_0^2 + n q_0^2 = 19^2 + 89 * 2^2 = 361+356 = 717#

#q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76#

Portanto, se parássemos aqui, teríamos uma aproximação:

#sqrt(89) ~~ 717/76 ~~ 9.434#

Vamos dar mais um passo:

#p_2 = p_1^2 + n q_1^2 = 717^2 + 89 * 76^2 = 514089 + 514064 = 1028153#

#q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984#

Então, temos uma aproximação:

#sqrt(89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113#

Esse método de Newton Raphson converge rapidamente.

#color(white)()#
Na verdade, uma boa aproximação simples para #sqrt(89)# is #500/53#, Desde #500^2 = 250000# e #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt(89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396#

Se aplicarmos uma etapa de iteração a isso, obteremos uma melhor aproximação:

#sqrt(89) ~~ 500001 / 53000 ~~ 9.4339811321#

#color(white)()#
Nota de rodapé

Todas as raízes quadradas de números inteiros positivos repetem expansões de fração contínuas, que você também pode usar para fornecer aproximações racionais.

No entanto, no caso de #sqrt(89)# a expansão contínua da fração é um pouco confusa, então não é tão agradável trabalhar com:

#sqrt(89) = [9; bar(2, 3, 3, 2, 18)] = 9+1/(2+1/(3+1/(3+1/(2+1/(18+1/(2+1/(3+...)))))))#

A aproximação #500/53# acima é #[9; 2, 3, 3, 2]#