Qual é a série Taylor de #f (x) = arctan (x) #?

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#

Vamos ver alguns detalhes.

#f(x)=arctanx#

#f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}#

Lembre-se de que a série de potências geométricas

#1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n#

substituindo #x# by #-x^2#,

#Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Assim,

#f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}#

Ao integrar,

#f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx#

colocando o sinal integral dentro da soma,

#=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx#

pela regra do poder,

#=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C#

Desde #f(0)=arctan(0)=0#,

#f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C
Rightarrow C=0#

Conseqüentemente,

#f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}#

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