Qual é a soma do ponto médio de Riemann?

Assumirei que você conhece a idéia geral de uma soma de Riemann.

Provavelmente é mais simples mostrar um exemplo:

Para o intervalo: #[1,3]# e para #n=4#

nós achamos #Delta x# como sempre, para Riemann soma:

#Delta x = (b-a)/n = (3-1)/4 = 1/2#

Agora os pontos finais dos subintervalos são:

#1, 3/2, 2, 5/2, 2#

Os quatro primeiros são pontos finais à esquerda e os quatro últimos são pontos finais à direita dos subintervalos.

A soma esquerda de Riemann usa os pontos finais esquerdos para encontrar a altura do retângulo. (E a soma certa.)

A soma do ponto médio usa os pontos médios dos subintervalos:

#[1, 3/2]# #[3/2,2]# #[2,5/2]# #[5/2, 3]#

O ponto médio de um intervalo é a média (média) dos pontos de extremidade:

#m_1 = 1/2(1+3/2) = 5/4#

#m_2 = 1/2(3/2 + 2) = 7/4#

#m_3 = 1/2 (2+5/2) = 9/4#

#m_4 = 1/2 (5/2+3) = 11/4#

Agora, qualquer que seja a função #f#, obtemos a soma:

#Delta x (f(m_1) + f(m_2) + f(m_3)+f(m_4))#

#= 1/2(f(5/4)+f(7/4)+f(9/4)+f(11/4))#

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