Qual é o intervalo de uma matriz?

Responda:

Veja abaixo

Explicação:

Um conjunto de vetores ocupa um espaço se todos os outros vetores no espaço puderem ser escritos como uma combinação linear do conjunto de abrangência. Mas, para entender o significado disso, precisamos olhar para a matriz como feita de vetores de coluna.

Aqui está um exemplo em #mathcal R^2#:

Deixe nossa matriz #M = ((1,2),(3,5))#

Isso possui vetores de coluna: #((1),(3))# e #((2),(5))#, que são linearmente independentes, então a matriz é não singular invertível etc etc.

Digamos que queremos mostrar que o ponto generalizado #(x,y)# está dentro do intervalo desses vetores 2, ou seja, para que a matriz abranja todos os #mathcal R^2#, então procuramos resolver isso:

#alpha ((1),(3)) + beta ((2),(5)) = ((x),(y))#

Ou:

#((1,2),(3,5)) ((alpha),(beta))= ((x),(y))#

Você pode resolver isso de várias maneiras, por exemplo, reduzir linha ou inverter M ..... para obter:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y#

Então, digamos que queremos verificar se #(2,3)# está no intervalo dessa matriz, M, aplicamos o resultado que obtivemos:

#alpha = -4#
#beta = 3#

Dupla verificação:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Considere a seguir uma matriz diferente: #M' = ((1,2),(2,4))#. Isto é singular porque seus vetores de coluna, #((1),(2))# e #((2),(4))#, são linearmente dependentes. Essa matriz abrange apenas a direção #((1),(2))#.

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