Qual é o limite de (1 + (1 / x)) ^ x quando x se aproxima do infinito?
Responda:
Faça o limite de (1 + (1 / x)) ^ x quando x se aproxima do infinito igual a qualquer variável, por exemplo, y, k. e pegue o logaritmo natural de ambos os lados.
Explicação:
#y=lim_(x-oo)(1+(1/x))^x#
#ln y =lim_(x-oo)ln (1+(1/x))^x#
#ln y =lim_(x-oo)x ln (1+(1/x))#
#ln y =lim_(x-oo) ln (1+(1/x))/x^-1#
se x for substituído diretamente, o valor será indefinido, portanto
A regra de l'opital é aplicada.
A regra de l'opital diz que se #lim_(x-a) f(x) =0= lim_(x-a) g(x)#,
então #lim_(x-a)(f(x)/g(x)) = lim_(x-a) ((f'(x))/(g'(x)))#
#ln y =lim_(x-oo)((1/(1+(1/x)))(0-1x^-2))/(-1x^-2)#
#ln y =lim_(x-oo)(1/(1+(1/x)))#
substituir por x
#ln y = (1/(1+0))#
#ln y = 1#
introduzir exponencial #e#
#e^ln y = e^1#
#y = e#
#y = e = lim_(x-oo)(1+(1/x))^x#
#lim_(x-oo)(1+(1/x))^x = e#