Qual é o limite #lim_ (x-> 0) (cos (x) -1) / x #?

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = 0#. Determinamos isso utilizando a Regra de L'hospital.

Parafraseando, a regra de L'Hospital afirma que, quando determinado limite do formulário #lim_(x→a)f(x)/g(x)#, Onde #f(a)# e #g(a)# são valores que fazem com que o limite seja indeterminado (na maioria das vezes, se ambos são 0, ou algum tipo de ∞), desde que ambas as funções sejam contínuas e diferenciáveis ​​na e nas proximidades de #a,# pode-se afirmar que

#lim_(x→a)f(x)/g(x)=lim_(x→a)(f'(x))/(g'(x))#

Ou, em palavras, o limite do quociente de duas funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

No exemplo fornecido, temos #f(x)=cos(x)-1# e #g(x)=x#. Estas funções são contínuas e diferenciáveis ​​perto #x=0, cos(0) -1 =0 and (0)=0#. Assim, nossa inicial #f(a)/g(a)=0/0=?.#

Portanto, devemos fazer uso da Regra de L'Hospital. #d/dx (cos(x) -1)=-sin(x), d/dx x=1#. Portanto...

#lim_(x->0) (cos(x)-1)/x = lim_(x->0)(-sin(x))/1 = -sin(0)/1 = -0/1 = 0#

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