Qual é o limite quando x se aproxima do infinito de # e ^ x #?

#color(white)()#
Como uma função real

tratar #e^x# em função dos valores reais de #x#, possui as seguintes propriedades:

• O domínio de #e^x# é o todo #RR#.

• O alcance de #e^x# is #(0, oo)#.

• #e^x# é contínuo em todo o #RR# e infinitamente diferenciável, com #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# é um para um, portanto, tem uma função inversa bem definida (#ln x#) a partir da #(0, oo)# para #RR#.

• #lim_(x->+oo) e^x = +oo#

• #lim_(x->-oo) e^x = 0#

À primeira vista, isso responde à pergunta, mas e os valores complexos de #x#?

#color(white)()#
Como uma função complexa

Tratado em função de valores complexos de #x#, #e^x# tem as propriedades:

• O domínio de #e^x# é o todo #CC#.

• O alcance de #e^x# is #CC "" { 0 }#.

• #e^x# é contínuo em todo o #CC# e infinitamente diferenciável, com #d/(dx) e^x = e^x#.

• #e^x# é muitos para um, então não tem função inversa. A definição de #ln x# pode ser estendido para uma função de #CC "" { 0 }# para dentro #CC#, normalmente para #{ x + iy : x in RR, y in (- pi, pi] }#.

O que queremos dizer com o limite de #e^x# as #x -> "infinity"# neste contexto?

Desde a origem, podemos seguir em direção ao "infinito" de várias maneiras.

Por exemplo, se apenas partirmos ao longo do eixo imaginário, o valor de #e^x# apenas gira em torno do círculo unitário.

Se escolhermos um número complexo #c = r(cos theta + i sin theta)#, seguindo a linha #ln r + it# para #t in RR# as #t->+oo#, o valor de #e^(ln r + it)# vai levar o valor #c# infinitamente muitas vezes.

Podemos projetar o plano complexo em uma esfera chamada esfera de Riemann #CC_oo#, com um ponto adicional chamado #oo#. Isso nos permite imaginar o "bairro de #oo#"e pense no comportamento da função #e^x# lá.

De nossas observações anteriores, #e^x# leva todo valor complexo diferente de zero infinitamente várias vezes em qualquer bairro arbitrariamente pequeno de #oo#. Isso é chamado de singularidade essencial no infinito.