Qual é o raio de convergência da expansão da série MacLaurin para #f (x) = sinh x #?

Vamos primeiro encontrar a expansão da série Maclaurin para #sinhx#:

#f(x)=sinhx=(e^x-e^-x)/2, f(0)=(e^0-e^0)/2=0#

#f'(x)=coshx=(e^x+e^-x)/2, f'(0)=(e^0+e^0)/2=1#

#f''(x)=sinhx, f''(0)=0#

#f'''(x)=coshx, f'''(0)=1#

#f^((4))(x)=sinhx, f^((4))(0)=0#

#f^((5))(x)=coshx, f^((5))(0)=1#

Então, vemos um padrão bastante consistente de zeros e uns alternados. Vamos escrever os primeiros termos da série:

A expansão da série Maclaurin é dada por

#f(x)=sum_(n=0)^oof^((n))(0)x^n/(n!)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/(2!)+...#

Então, para nossa função, temos

#sinhx=0+x+0x^2+x^3/(3!)+0x^4+x^5/(5!)+...#

Se ignorarmos os termos que envolvem zero, veremos

#sinhx=x+x^3/(3!)+x^3/(3!)+...#

Então, queremos expoentes e fatoriais ímpares começando em #1#, então o somatório é

#sinhx=sum_(n=0)^oox^(2n+1)/((2n+1)!)#

Para encontrar o raio de convergência, usaremos o Teste de relação, em que

#a_n=x^(2n+1)/((2n+1)!)#

#lim_(n->oo)|a_(n+1)/a_n|=lim_(n->oo)|x^(2n+3)/((2n+3)!)*((2n+1)!)/x^(2n+1)|#

Nós queremos que os fatoriais cancelem. Portanto, retire alguns termos do fatorial maior:

#(2n+3)! = (2n+3)(2n+1)(2n+1)!#

Então nós temos

#lim_(n->oo)|(x^(2n+3)cancel((2n+1)!))/(x^(2n+1)(2n+3)(2n+2)cancel((2n+1)!))|#

#x^(2n+3)/x^(2n+1)=x^2#

Assim,

#|x^2|lim_(n->oo)1/((2n+3)(2n+2))<1# resulta em convergência.

O limite vai para #0.# Assim, essa quantidade é sempre #0<1# independentemente do que escolhemos #x#. Temos convergência para todos os números reais, IE, #R=oo#