Quantas linhas tangentes à curva #y = x / (x + 1) # passam pelo ponto (1,2)?

Dado: #y = x/(x+1)#

A forma ponto-inclinação da equação de uma linha nos diz que a forma das linhas tangentes deve ser:

#y = m(x-1)+2" [1]"#

Para que as linhas sejam tangentes à curva, devemos substituir a primeira derivada da curva por #m#:

#dy/dx = ((d(x))/dx(x+1)-x(d(x+1))/dx)/(x+1)^2#

#dy/dx = (x+1-x)/(x+1)^2#

#dy/dx = 1/(x+1)^2#

#m = 1/(x+1)^2" [2]"#

Substitua a equação [2] na equação [1]:

#y = (x-1)/(x+1)^2+2" [1.1]"#

Como a linha deve tocar a curva, podemos substituir #y = x/(x+1)#:

#x/(x+1) = (x-1)/(x+1)^2+2#

Resolver para x:

#x(x+1) = (x-1)+2(x+1)^2#

#x^2+x = x -1 +2x^2+4x+2#

#x^2+4x+1#

#x = (-4+-sqrt(4^2-4(1)(1)))/(2(1))#

#x = -2+-sqrt(3)#

#x = -2+sqrt(3)# e #x = -2-sqrt(3)#

Existem linhas tangentes 2.

#y = 1/(-1+sqrt3)^2(x-1)+2#

e

#y = 1/(-1-sqrt3)^2(x-1)+2#