Se #sin alfa + sin beta + sin gama = cos alfa + cos beta + cos gama #, qual é o valor de # cos ^ 2 alfa + cos ^ 2 beta + cos ^ 2 gama #?

A pergunta fornece informações insuficientes para determinar um valor único.

Por exemplo:

If #(alpha, beta, gamma) = (0, pi, pi/4)# então:

#{ (sin alpha + sin beta + sin gamma = 0+0+sqrt(2)/2 = sqrt(2)/2), (cos alpha + cos beta + cos gamma = 1-1+sqrt(2)/2 = sqrt(2)/2), (cos^2 alpha+cos^2beta+cos^2gamma = 1+1+1/2 = 5/2) :}#

If #(alpha, beta, gamma) = (pi/4, pi/4, pi/4)# então:

#{ (sin alpha + sin beta + sin gamma = sqrt(2)/2+sqrt(2)/2+sqrt(2)/2 = (3sqrt(2))/2), (cos alpha + cos beta + cos gamma = sqrt(2)/2+sqrt(2)/2+sqrt(2)/2 = (3sqrt(2))/2), (cos^2 alpha+cos^2 beta + cos^2 gamma = 1/2+1/2+1/2 = 3/2) :}#

São #alpha, beta, gamma# deveriam ser os ângulos internos de um triângulo ou algo assim? Faltam algumas informações na pergunta?