Uma caixa com base quadrada e parte superior aberta deve ter um volume de 32,000cm ^ 3. Como você encontra as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado?

O volume de uma caixa com uma base quadrada #x# by #x# cm e altura #h# cm é #V=x^2h#

A quantidade de material usado é diretamente proporcional à área da superfície, portanto, minimizaremos a quantidade de material minimizando a área da superfície.

A área de superfície da caixa descrita é #A=x^2 +4xh#

Precisamos #A# como a função de #x# sozinho, então usaremos o fato de que
#V=x^2h = 32,000# cm ^ 3

o que nos dá #h = (32,000)/x^2#, então a área se torna:

#A=x^2 +4x((32,000)/x^2) = x^2 +(128,000)/x#

Queremos minimizar #A#, assim

#A' = 2x-(128,000)/x^2 = 0# quando #(2x^3-128,000)/x^2 = 0#

O que ocorre quando #x^3 - 64,000 = 0# or #x=40#

O único número crítico é #x=40# cm.

O segundo teste derivado verifica se #A# tem um mínimo neste número crítico:
#A'' = 2+(256,000)/x^3# o que é positivo em #x = 40#.

A caixa deve ter base 40 cm por 40 cm e altura 20 cm.

(usar #h = (32,000)/x^2# e #x=40#)

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