Qual é o intervalo de uma matriz?

Um conjunto de vetores ocupa um espaço se todos os outros vetores no espaço puderem ser escritos como uma combinação linear do conjunto de abrangência. Mas, para entender o significado disso, precisamos olhar para a matriz como feita de vetores de coluna.

Aqui está um exemplo em #mathcal R^2#:

Deixe nossa matriz #M = ((1,2),(3,5))#

Isso possui vetores de coluna: #((1),(3))# e #((2),(5))#, que são linearmente independentes, então a matriz é não singular invertível etc etc.

Digamos que queremos mostrar que o ponto generalizado #(x,y)# está dentro do intervalo desses vetores 2, ou seja, para que a matriz abranja todos os #mathcal R^2#, então procuramos resolver isso:

#alpha ((1),(3)) + beta ((2),(5)) = ((x),(y))#

Ou:

#((1,2),(3,5)) ((alpha),(beta))= ((x),(y))#

Você pode resolver isso de várias maneiras, por exemplo, reduzir linha ou inverter M ..... para obter:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y#

Então, digamos que queremos verificar se #(2,3)# está no intervalo dessa matriz, M, aplicamos o resultado que obtivemos:

#alpha = -4#
#beta = 3#

Dupla verificação:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Considere a seguir uma matriz diferente: #M' = ((1,2),(2,4))#. Isto é singular porque seus vetores de coluna, #((1),(2))# e #((2),(4))#, são linearmente dependentes. Essa matriz abrange apenas a direção #((1),(2))#.