Como você encontra a raiz quadrada do 193?

#193# é um número primo, portanto, sua raiz quadrada não possui uma forma mais simples. É um número irracional um pouco menos que #14# (Desde a #14^2 = 196#) Ou seja, não é expressável na forma #p/q# para quaisquer números inteiros #p, q#.

Podemos encontrar aproximações usando um tipo de método de Newton Raphson.

Dado um número #n# e uma aproximação inicial #a_0# para #sqrt(n)#, obtenha aproximações progressivamente mais precisas usando a fórmula:

#a_(i+1) = (a_i^2 + n)/(2a_i)#

Eu gosto de reformular isso um pouco usando números inteiros #p_i# e #q_i# onde #a_i = p_i/q_i#. Em seguida, use estas fórmulas para iterar:

#p_(i+1) = p_i^2+n q_i^2#

#q_(i+1) = 2p_i q_i#

Se o resultado #p_(i+1)# e #q_(i+1)# tenha um fator comum e, em seguida, divida ambos por esse fator antes da próxima iteração.

Deixei #n=193#, #p_0 = 14# e #q_0 = 1#

Então:

#p_1 = p_0^2+n q_0^2 = 14^2+193*1^2 = 196+193 = 389#

#q_1 = 2p_0 q_0 = 2*14+1 = 28#

Se parássemos aqui, teríamos:

#sqrt(193) ~~ 389/28 = 13.89bar(285714)#

Próxima iteração:

#p_2 = p_1^2 = n q_1^2 = 389^2 + 193*28^2 = 151321+151312 = 302633#

#q_2 = 2p_1 q_1 = 2*389*28 = 21784#

Assim:

#sqrt(193) ~~ 302633/21784 ~~ 13.892444#

Na realidade:

#sqrt(193) ~~ 13.8924439894498#

mas como você pode ver, esse método converge rapidamente.