Qual é o log natural de $-0.9$ ?

$ln (-0.9) = ln (0.9) + ipi ~~ -0.10536 + ipi$

Observe que o logaritmo natural deve ser o inverso da função exponencial $e^x$ . Portanto, a resposta para a nossa pergunta é uma solução de:

$e^x = -0.9$

Note, porém, que $e^x > 0$ para todos os valores reais de $x$ .

Portanto, não há valor real de $x$ que é candidato ao logaritmo natural.

A função exponencial $e^x$ é aplicável a números complexos, para que possamos procurar soluções complexas de $e^x = -0.9$ .

Observe que a identidade de Euler nos diz que:

$e^(ipi) + 1 = 0$

Então encontramos:

$e^(ipi + ln 0.9) = e^(ipi) * e^(ln 0.9) = -1 * 0.9 = -0.9$

De fato, o valor principal do logaritmo natural complexo de $-0.9$ is $ln 0.9 + i pi$ .

"Valor principal"?

Qualquer número do formulário $x = ln 0.9 + (2k+1)pii$ (com $k$ um inteiro) irá satisfazer $e^x = -0.9$ .

Por convenção, o valor principal de $ln (r e^(i theta))$ is $ln r + i theta$ para $theta in (-pi, pi]$ .

Para encontrar o valor de $ln 0.9$ podemos usar:

$ln (1+t) = t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+...$

Assim:

$ln (1-t) = t+t^2/2+t^3/3+t^4/4+...$

$ln (0.9) = ln (1-0.1) = -(0.1+0.01/2+0.001/3+0.0001/4+...)$

$~~ -0.10536$

Assim:

$ln (-0.9) = ln (-0.9) + ipi ~~ -0.10536+ipi$

Qual é o log natural de -0.9 -0.9 ?