Como você encontra a raiz quadrada do 1728?

Para encontrar a raiz quadrada de #1728#, encontre primeiro sua fatoração principal:

#color(white)(000)1728#
#color(white)(000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(00)2color(white)(000)864#
#color(white)(000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000)2color(white)(00)432#
#color(white)(00000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(0000000)2color(white)(00)216#
#color(white)(0000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(000000000)2color(white)(00)108#
#color(white)(000000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000000000)2color(white)(00)54#
#color(white)(0000000000000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(000000000000)2color(white)(000)27#
#color(white)(000000000000000)"/"color(white)(00)""#
#color(white)(00000000000000)3color(white)(0000)9#
#color(white)(000000000000000000)"/"color(white)(0)""#
#color(white)(00000000000000000)3color(white)(000)3#

Assim:

#1728 = 2^6 * 3^3#

e:

#sqrt(1728) = sqrt(2^6 * 3^3) = sqrt((2^3 * 3)^2 * 3) = 24sqrt(3)#

Observe que, como qualquer número positivo, #1728# na verdade tem duas raízes quadradas:

#sqrt(1728) = 24sqrt(3)" "# and #" "-sqrt(1728) = -24sqrt(3)#

Quando dizemos "a" raiz quadrada, normalmente queremos dizer a principal positiva.

Observe que os poderes em #2^6# e #3^3# são múltiplos de #3#, assim #1728 = 2^6 * 3^3# tem uma raiz exata do cubo #2^2 * 3 = 12#

Aproximações

Se queremos aproximar o valor de #sqrt(1728) = 24sqrt(3)# com uma boa aproximação racional, podemos prosseguir da seguinte forma ...

Observe que:

#7^2 = 49 = 48+1 = 3 * 4^2 + 1#

Portanto, uma boa primeira aproximação para #sqrt(3)# is #7/4#.

Considere o quadrático com zeros #7+4sqrt(3)# e #7-4sqrt(3)#, a saber:

#(x-7-4sqrt(3))(x-7+4sqrt(3)) = x^2-14x+1#

A partir disso, podemos definir uma sequência inteira recursivamente:

#{ (a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_(n+2) = 14a_(n+1)-a_n) :}#

Os primeiros termos são:

#0, 1, 14, 195, 2716, 37829,...#

A relação entre termos sucessivos converge rapidamente para #7+4sqrt(3)#.

Conseqüentemente:

#sqrt(1728) = 6 * 4sqrt(3) ~~ 6*(37829/2716-7) = 6 * 18817/2716 = 56451/1358 ~~ 41.5692194#