Como você integra #int x / sqrt (x ^ 2 + 1) # por substituição trigonométrica?

Deixei #x= tantheta#. Depois #dx = sec^2thetad theta#

#=> int tan theta/sqrt((tan^2theta + 1)) sec^2theta d theta#

#=> int tantheta/sqrt(sec^2theta) sec^2theta d theta#

#=> int tantheta/sectheta sec^2theta d theta#

#=> int tan theta sec theta d theta#

Esta é uma integral comum--#int(tanxsecx)dx = secx + C#.

#=> sec theta + C#

Agora desenhamos um triângulo imaginário.

A definição de #sectheta# is #"hypotenuse"/("side adjacent" theta)# Porque #secx = 1/cosx#. Nesta imagem, #sectheta = sqrt(x^2 + 1)#.

Portanto, a integral pode ser simplificada para #sqrt(x^2 + 1) + C#.

Espero que isso ajude!