Se um aspersor distribui água em um padrão circular, fornecendo água a uma profundidade de # e ^ -r # pés por hora a uma distância de r pés do aspersor, qual é a quantidade total de água fornecida por hora dentro de um círculo de raio 11?

É #2 pi - 24 pi e^(-11) (ft^3)/h approx 6.2819 (ft^3)/h#

Temos a informação de que a altura da água fornecida por hora a uma determinada distância #r# is #e^(-r)#. O volume de água fornecida por hora em uma determinada região é simplesmente a integral dessa quantidade nessa região. Chamando #z(r)=e^(-r)#, podemos ver que esse problema pode ser reinterpretado como o problema de determinar o volume da região sob uma superfície definida por #z(r)# (que representa a altura fornecida por hora a uma determinada distância), usando coordenadas polares.

Este "volume" pode ser calculado pela integral:

#int_Omega e^(-r) dA = int_0^(R)int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr,#

onde #Omega# é a região sobre a qual você está integrando, neste caso, o círculo de raio #R#.

O termo #r# aparece devido ao uso de coordenadas polares.

A integral em #theta# é muito fácil de resolver:

#int_0^R int_0^(2 pi)e^(-r) r d theta dr = int_0^R r e^(-r) [theta]_0^(2 pi) dr = 2pi int_0^R r e^(-r) dr#

A integral em #r# também não é muito difícil, só precisamos Integração por partes.

#2pi int_0^R r e^(-r) dr = 2 pi ([-r e^(-r)]_0^R - int_0^R e^(-r) dr) = 2 pi (- R e^(-R) - e^(-r)|_0^R) = 2 pi [1 - e^(-R) (1 + R)]#

Na sua pergunta, o círculo tem raio #11#. Ao inserir esse valor no resultado, obtemos a resposta:

#2 pi [1 - e^(-11) (12)] = 2 pi - 24 pi e^(-11) approx 6.2819#

que é, como indicado na sua pergunta, em #(ft^3)/(h)#.