Como encontro a equação para uma linha tangente sem derivadas?

A inclinação da linha tangente é a inclinação instantânea da curva. Portanto, se aumentarmos o valor do argumento de uma função em uma quantidade infinitesimal, a mudança resultante no valor da função, dividida pelo infinitesimal, fornecerá a inclinação (módulo assumindo a parte padrão descartando os infinitesimais restantes).

Por exemplo, suponha que desejamos encontrar a tangente para #f(x)# at #x=2#, Onde:

#f(x) = x^3-3x^2+x+5#

Deixei #epsilon > 0# ser um valor infinitesimal. Então:

#(f(2+epsilon) - f(2))/epsilon#

#=(((2+epsilon)^3-3(2+epsilon)^2+(2+epsilon)+5)-((2)^3-3(2)^2+(2)+5))/epsilon#

#=(((8+12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-3(4+4epsilon+epsilon^2)+(2+epsilon)+5)-(8-12+2+5))/epsilon#

#=((12epsilon+6epsilon^2+epsilon^3)-(12epsilon+3epsilon^2)+epsilon)/epsilon#

#=(epsilon+3epsilon^2+epsilon^3)/epsilon#

#=1+3epsilon+epsilon^2#

dos quais a parte padrão (isto é, finita) é #1# (descartando o #3epsilon+epsilon^2#).

Portanto, a inclinação da tangente é #1# e o ponto tangente é:

#(2, f(2)) = (2, 3)#

Portanto, a equação da tangente pode ser escrita:

#(y-3) = 1(x-2)#

ou mais simplesmente:

#y = x+1#

gráfico {(y- (x ^ 3-3x ^ 2 + x + 5)) (yx-1) = 0 [-3.355, 6.645, 1.38, 6.38]}