Como você fatora # x ^ 3 - 1 #?

Quero expandir uma ideia expressa na resposta anterior

A ideia de:

# (x^n - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^n x^(n-r) #

ou não na notação sigma:

# (x^n -1 )/(x-1) = x^(n-1) + x^(n-2) + ... + x + 1 #

Podemos provar isso por indução:

Caso básico:

#=> n = 1 #

#LHS: (x^1-1)/(x-1) = 1 #

#RHS: x^(1-1) = x^0 = 1 #

Portanto, o caso básico é válido

Indução:

Assumir #n=k# detém:

# (x^k - 1)/(x-1) = sum_(r=1) ^k x^(k-r) #

#n = k+1 #:

#sum_(r=1) ^(k+1) x^(k+1-r) = (sum_(r=1) ^k x^(k+1-r)) +1 #

#= x *(sum_(r=1) ^(k) x^(k-r)) + 1 #

#= x * ( (x^k -1)/(x-1) ) + 1 #

#= (x^(k+1) - x)/(x-1) + 1 #

#= (x^(k+1) - x) / (x-1) + (x-1)/(x-1) #

#= (x^(k+1) - 1 )/(x-1) #

Portanto, é também isso que produzimos ao conectar diretamente à fórmula:

Portanto, vale para todos #k in ZZ^+# e todos # k+1 in ZZ^+ # assim vale para todos #n in ZZ^+#

#=># Comprovado por indução matemática

Eu pensei que era uma boa ideia a considerar!