Como você encontra a área da região delimitada pela curva polar # r ^ 2 = 4cos (2theta) #?

A primeira coisa a lembrar que uma integral é uma maneira de adicionar um número infinito de áreas. Para coordenadas retangulares (#y=f(x)#), essas áreas são sempre retângulos.

#int_a^bf(x)dx#

literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de retângulos entre #x=a# e #x=b#, Onde #f(x)# é igual à altura de cada retângulo.

As coordenadas polares, embora pareçam mais complicadas, seguem o mesmo padrão geral. A grande diferença é que não estamos lidando com retângulos. Estamos lidando com setores de um círculo. Também conhecida como fatias de pizza.

A área de uma única fatia de pizza de um círculo é #A=1/2r^2theta#

(lembre-se de que esta fórmula de área específica só funciona se #theta# está em radianos!)

Portanto, a área de um número infinito de "fatias de pizza" é

#1/2int_a^br^2d theta#

que literalmente significa "vamos encontrar a área de um número infinito de fatias de pizza entre #theta=#ângulo #a# e #theta=# ângulo #b# onde r é igual ao raio de cada fatia de pizza.

Agora, para o seu problema específico, substituímos #4cos(2theta)# para #r^2#.

#1/2int_a^br^2d theta = 1/2int_a^b4cos(2theta)d theta#

Agora temos que determinar uma adequada #a# e #b#.

Primeiro, lembramos como é um lemniscato.

O #2theta# torna isso um pouco complicado. Basicamente, este gráfico polar passa por seu ciclo duas vezes mais rápido. Isso significa quando #theta=pi/4#, #cos(2theta)# está se comportando como se #theta=pi/2#. É por isso que o raio diminui para zero em #theta=pi/4#. Porque #cos(2pi/4)=cos(pi/2)=0#.

Parece que a coisa mais simples a fazer é ter o nosso ângulo de #theta=-pi/4# para #theta = pi/4#, o que nos dará a metade direita do lemniscato. Então, precisamos apenas duplicar nossa resposta para encontrar toda a área vinculada ao lemniscato.

Assim...

#A=2int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)d theta#

#A=2(1/2)int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=int_(-pi/4)^(pi/4)4cos(2theta)2d theta#

#A=4sin(2theta)|_(-pi/4)^(pi/4)=4sin(2pi/4)-2sin(2(-pi/4))#

#A=4sin(pi/2)-4sin(-pi/2)=4(1)-4(-1)=8#