Como você encontra o volume da região delimitada pelos gráficos de #y = x ^ 2 # e #y = sqrt x # sobre o eixo x?

No gráfico, podemos ver que o volume que procuramos está entre as duas funções. Para encontrar isso, precisamos encontrar o volume de revolução da #f(x)=sqrt(x)# e subtrair o volume de revolução de #f(x)=x^2#. Isso é mostrado como a área sombreada.

Primeiro, precisamos encontrar os limites superior e inferior. Sabemos que o limite inferior é #0# desde #f(x)=sqrt(x)# é indefinido para #x<0#. O limite superior é o local onde as funções se cruzam:

#:.#

#x^2=sqrt(x)#

#x^2/x^(1/2)=1#

#x^(3/2)=1#

Esquadrar:

#x^3=1#

#x=root(3)(1)=1#

Volume de #bb(f(x)=sqrt(x))#:

#pi int_(0)^(1)(x^(1/2))=pi[2/3x^(3/2)]_(0)^(1)#

#=pi{[2/3x^(3/2)]^(1)-[2/3x^(3/2)]_(0)}#

Conectando os limites superior e inferior:

#=pi{[2/3(1)^(3/2)]^(1)-[2/3(0)^(3/2)]_(0)}=(2pi)/3# unidades cúbicas

Volume de #bb(f(x)=x^2)#

#pi int_(0)^(1)(x^2)=pi[1/3x^3]_(0)^(1)#

#=pi{[[1/3x^3]^(1)-[1/3x^3]_(0)}#

Conectando os limites superior e inferior:

#=pi{[[1/3(1)^3]^(1)-[1/3(0)^3]_(0)}=pi/3# unidades cúbicas.

O volume necessário é:

#(2pi)/3-pi/3=##color(blue)(pi/3 "cubic units.")#

Volume de revolução: