Como encontro a área dentro de um limacon?

Responda:

A área delimitada pelo limaçon $r = b + a cos theta$ is $pi(b^2+1/2 a^2)$

Explicação:

Considere um limaçon com equação polar:

$r = b + a cos theta$

Como a pergunta é feita de uma forma simples, assumirei uma simplificação de que o limaçon não se cruza; $abs(a) <= abs(b)$ .

Dissecando o limaçon em segmentos infinitesimais sobre a origem, observe que cada segmento tem área $1/2 r^2 d theta$

Portanto, a área total do limaçon é:

$int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta = int_0^(2pi) 1/2 (b+acos theta)^2 d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) 1/2 (b^2+2ab cos theta+a^2cos^2 theta) d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) ( 1/2b^2+ab cos theta+1/4a^2(1+cos 2 theta)) d theta$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = [ 1/2b^2 theta+ab sin theta+1/4a^2(theta+1/2sin 2 theta)]_0^(2pi)$

$color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = pi(b^2+1/2 a^2)$