Como encontro a √°rea dentro de um limacon?

Responda:

A área delimitada pelo limaçon #r = b + a cos theta# is #pi(b^2+1/2 a^2)#

Explicação:

Considere um limaçon com equação polar:

#r = b + a cos theta#

Como a pergunta é feita de uma forma simples, assumirei uma simplificação de que o limaçon não se cruza; #abs(a) <= abs(b)#.

Dissecando o limaçon em segmentos infinitesimais sobre a origem, observe que cada segmento tem área #1/2 r^2 d theta#

Portanto, a área total do limaçon é:

#int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta = int_0^(2pi) 1/2 (b+acos theta)^2 d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) 1/2 (b^2+2ab cos theta+a^2cos^2 theta) d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) ( 1/2b^2+ab cos theta+1/4a^2(1+cos 2 theta)) d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = [ 1/2b^2 theta+ab sin theta+1/4a^2(theta+1/2sin 2 theta)]_0^(2pi)#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = pi(b^2+1/2 a^2)#