Como encontro a derivada de # y = ln (e ^ -x + xe ^ -x) #?

Comece fatorando um #e^-x# entre parênteses:
#y=ln(e^-x(1+x))#

Agora aplique a propriedade #ln(ab)=ln(a)+ln(b)# para obter:
#y=ln(e^-x)+ln(1+x)#

Aplique outra propriedade específica ao logaritmo natural, #ln(e^a)=a#:
#y=-x+ln(1+x)#

Agora podemos pegar o derivado com facilidade.

usando o regra de soma, #d/dx(-x+ln(1+x))=d/dx(-x)+d/dx(ln(1+x))#. E usando o fato de que #d/dx(-x)=-1# e #d/dx(ln(1+x))=1/(1+x)#,
#(dy)/dx=-1+1/(1+x)#

Por fim, adicione as frações para obter o resultado final:
#(dy)/dx=-(1+x)/(1+x)+1/(1+x)=-x/(1+x)#